소개

Art of Problem Solving 홈페이지처럼 수학올림피아드 문제자료를 손쉽게 검색하고 찾을 수 있는 홈페이지가 한국어로 된 것이 없었습니다. 그래서 문제별로 검색이 가능하고 댓글로 풀이를 토론할 수 있는 홈페이지를 만들게 되었습니다.

1998 아일랜드 수학올림피아드 3번문제

십진법에서 $\overline{xyxy}$꼴의 수는 완전세제곱수가 될 수 없음을 보여라. 한편, $b$진법에서 $\overline{xyxy}$꼴의 수가 완전세제곱수가 되는 경우가 있는 가장 작은 $b>1$ 를 구하여라.

1999 미국수학올림피아드 6번문제

$ABCD$는 $AB \parallel CD$ 인 등변사다리꼴이다. 삼각형 $BCD$의 내접원 $\omega$가 $CD$와 $E$에서 만난다. $\angle DAC$의 이등분선 위에 $EF \perp CD$ 인 점 $F$를 잡자. 삼각형 $ACF$의 외접원이 직선 $CD$와 다시 만나는 점을 $G$라 할 때, $AFG$가 이등변삼각형임을 증명하여라.

2001 미국수학올림피아드 6번문제

평면 위의 각 점마다 실수를 하나씩 부여하였다. 임의의 삼각형에 대해, 그 내심에 부여된 수는 세 꼭지점에 부여된 수의 산술평균이라고 한다. 이 평면 위의 모든 점에는 똑같은 수가 부여되었음을 증명하여라.

2012 미국 TST 5번문제

3변수 다항식 \[P_n(x,y,z)=(x-y)^{2n}(y-z)^{2n}+(y-z)^{2n}(z-x)^{2n}+(z-x)^{2n}(x-y)^{2n}\]과 \[Q_n(x,y,z)=[(x-y)^{2n}+(y-z)^{2n}+(z-x)^{2n}]^{2n}\]이 주어져 있다. 이 때 $Q_n(x,y,z)/P_n(x,y,z)$가 $x,y,z$에 대한 유리수 계수를 갖는 3변수 다항식이 되게끔 하는 양의 정수 $n$을 모두 구하여라. (2012년 2월 1일, 출처)

2012 국제대학생수학경시대회(IMC) 둘째날 2번문제

수열 $a_0$, $a_1$, $\ldots$을 아래와 같이 정의하자: $a_0=1$, $a_0=\frac{1}{2}$, \[a_{n+1}=\frac{n a_n^2}{1+(n+1)a_n}, \quad \forall n\ge 1.\] 이때 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_{k+1}}{a_k}$은 수렴함을 증명하고 그 값을 구하라. (2012년 7월 29일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)

2012 이란 TST 시험1 첫째날 2번문제

예각삼각형 $ABC$의 외접원을 $O$라 하자. 원호 $BAC$의 중점을 $D$라 하고, 삼각형 $ABC$의 내심을 $I$라 하자. 직선 $DI$와 $BC$가 만나는 점을 $E$라 하고, 직선 $DI$와 원 $O$가 만나는 $D$ 아닌 점을 $F$라 하자. 직선 $PE$와 $AI$가 평행하도록 점 $P$를 직선 $AF$ 위에 잡자. 이때 직선 $PE$는 각 $BPC$를 각이등분선임을 보여라.

2012 국제수학올림피아드 Short List G4

외심이 $O$이고 변 $AB$와 변 $AC$의 길이가 다른 삼각형 $ABC$가 있다. 각 $BAC$의 이등분선이 $BC$와 만나는 점을 $D$라 하자. 점 $D$를 변 $BC$의 중점으로 대칭시켜 얻은 점을 $E$라 하자. 직선 $BC$와 수직이며 점 $D$을 지나는 직선이 직선 $AO$를 만나는 점을 $X$, 직선 $BC$와 수직이며 점 $E$를 지나는 직선이 직선 $AD$와 만나는 점을 $Y$라 하자. 이때 $B$, $X$, $C$, $Y$는 한 원 위에 있음을 보여라.

2013 아벨수학경시대회 최종라운드 4a번문제

정2013각형의 서로 다른 네 꼭지점의 순서쌍 $(P_1,P_2,P_3,P_4)$에 대해 선분 $P_1P_2$가 선분 $P_3P_4$를 만나면 이 순서쌍을 교차하는 순서쌍이라 하자. 정2013각형에는 교차하는 순서쌍이 몇 개나 있는가? (2013년 3월 7일, 4시간, 출처)

2016 Miklós Schweitzer 수학경시대회 3번문제

임의의 실수계수 다항식 $P$와 양의 정수 $n$에 대해, $P^2(x)+Q^2(x)$이 $(1+x^2)^n$으로 나누어 떨어지게 되는 실수계수 다항식 $Q$가 존재함을 보여라.

자료 목록

최근 추가된 문제

2017 국제수학올림피아드 1번문제

정수 $a_0>1$에 대하여, 수열 $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$을 다음과 같이 정의한다.

모든 $n\ge0$에 대하여 \[ a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n},&\sqrt{a_n}\text{이 정수인 경우}\\ a_n+3,&\text{그 외의 경우}\end{cases}\]

무한히 많은 $n$의 값에 대하여 $a_n=A$가 되는 수 $A$가 존재하도록 하는 $a_0$의 값을 모두 구하여라.

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