소개

Art of Problem Solving 홈페이지처럼 수학올림피아드 문제자료를 손쉽게 검색하고 찾을 수 있는 홈페이지가 한국어로 된 것이 없었습니다. 그래서 문제별로 검색이 가능하고 댓글로 풀이를 토론할 수 있는 홈페이지를 만들게 되었습니다.

1972 미국수학올림피아드 1번문제

기호 $(a,b,\dotsc,g)$와 $[a,b,\dotsc,g]$는 각각 양의 정수 $a,b,\dotsc,g$의 최대공약수와 최소공배수를 나타낸다. 예를 들어, $(3,6,18)=3$ 이고 $[6,15]=30$ 이다. 다음을 증명하여라.\[ \frac{[a,b,c]^2}{[a,b][b,c][c,a]} = \frac{(a,b,c)^2}{(a,b)(b,c)(c,a)}\]

2015 루마니아 수학 마스터 3번문제

칠판에 유한개의 유리수가 적혀있다. 어느 두 수 $a$, $b$를 골라서 지우고 대신 $a+b$, $a-b$, $b-a$, $a\times b$, $a/b$ (단 $b\neq0$일때만), $b/a$ (단 $a\neq 0$) 중 하나로 바꿔쓰는 일을 하나의 시행이라 하자. 어떤 $n\gt 100$인 정수에 대해, \[k+1,k+2,\ldots,k+n\]으로부터 $n-1$번의 시행으로 $n!$을 얻을 수 있을 $k\ge0$의 수는 유한함을 증명하라.

2013 중국 TST1 4번문제

$1$보다 큰 정수 $n$, $k$에 대해 $a_1,a_2,\ldots,a_n,c_1,c_2,\ldots,c_m$을 다음 두 조건을 만족하는 음아닌 실수라 하자. (1) $a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$이고 $a_1+a_2+\cdots+a_n=1$. (2) 모든 정수 $m\in\{1,2,\ldots,n\}$에 대해 $c_1+c_2+\cdots+c_m\le m^k$. 이때 $c_1a_1^k+c_2a_2^k+\cdots +c_n a_n^k$의 최대값을 구하여라. (2013년 3월 14일, 출처, 4시간 30분)

1997 제10회 한국수학올림피아드 최종시험 6번문제

$p_1, \cdots , p_r$ 이 서로 다른 소수이고 $n_1, \cdots ,n_r$ 이 임의의 자연수일 때, $x, y$ 가 서로 소이고 $x^3+y^3=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_r^{n_r}$ 을 만족시키는 정수해의 순서쌍 $(x, y)$ 의 개수는 $2^{r+1}$ 개 이하임을 증명하여라. (1997년 4월 20일)

2016 아벨수학경시대회 3번문제

(a) 중심이 각각 $A$, $B$, $C$인 세 원 $S_A$, $S_B$, $S_C$가 서로 외접한다. 원 $S_A$와 $S_B$가 접하는 점을 $C'$, 원 $S_A$와 $S_C$가 접하는 점을 $B'$, 원 $S_B$와 $S_C$가 접하는 점을 $A'$이라 하자. 두 원 $S_A$, $S_C$에 공통으로 접하는 ($B'$를 지나는) 직선을 $\ell_B$라 하자. 마찬가지로 두 원 $S_B$와 $S_C$에 공통으로 접하는 ($A'$를 지나는) 직선을 $\ell_A$라 하자. 두 직선 $\ell_A$와 $\ell_B$가 만나는 점을 $X$라 하자. 그리고 $\angle XBY$와 $\angle YAX$가 모두 직각이 되는 점 $Y$를 잡자. 이때 세 점 $X$, $Y$, $C'$가 한 직선 위에 있을 필요충분조건은 $AC=BC$임을 보여라. (b) $AB\lt AC$인 예각삼각형 $ABC$이 있다. 직선 $BC$ 위에 두 점 $A_1$, $A_2$를 잘 잡아서 $AA_1$은 각 $A$의 내각이 이등분선이 되고, $AA_2$는 각 $A$의 외각의 이등분선이 되었다. 점 $A_2$를 점 $C$에 대칭시켜 얻은 점을 $A_3$라 하며 $\angle A_1QA_3=90^\circ$가 되는 직선 $AA_1$ 위의 점을 $Q$라 하자. 이때 $QC$와 $AB$는 평행함을 보여라.

2016 Vojtěch Jarník 국제수학경시대회 2분야 1번문제

양의 실수 $a$, $b$, $c$가 $a+b+c=1$을 만족시킨다. 이때, 다음 부등식을 보여라. \[ \left(\frac1a+\frac1{bc}\right)\left(\frac1b+\frac1{ca}\right)\left(\frac1c+\frac1{ab}\right)\ge 1728\]

1997 제16회 전국 대학생 수학경시대회 오전 6번문제 제2분야

주어진 3차원 벡터 $A,B,C$에 대하여 $\det (A,B,C)\gt 0$일 때 $X\times Y=A, Y\times Z=B, Z\times X=C$를 만족하는 벡터 $X,Y,Z$를 모두 구하여라. (1997년 10월 12일, 출처)

1988 아일랜드 수학올림피아드 6번문제

$n$개의 벽돌이 있는데, 각각의 무게는 $n$보다 작은 자연수이다. 또, 이 벽돌 전체의 무게는 $2n$이다. 이 벽돌들을 각각 무게 $n$이 되는 두 그룹으로 나눌 수 있음을 증명하여라.

2014 미국수학올림피아드 4번문제

양의 정수 $k$가 주어져있다. 무한히 펼쳐진 평면이 같은 크기의 정육각형 칸으로 가득 채워져있는 게임판 위에서 두 사람 $A$, $B$가 아래와 같은 게임을 한다. 처음에는 모든 칸이 비워져있다. $A$부터 시작해서 돌아가면서 자기 차례가 되면 $A$는 비어있는 이웃한 두 칸을 골라서 돌을 하나씩 넣을 수 있으며, $B$는 게임판 위의 아무 돌이나 골라 제거할 수 있다. 어느 순간이라도 한 직선 위에 있는 연속한 $k$개의 칸 각각에 돌이 있으면 $A$가 이긴다. 이때, $A$가 유한번 게임에 참여해서는 이길 수 없게 하는 최소의 $k$값을 구하거나, 그러한 $k$ 값이 존재하지 않음을 증명하라.

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최근 추가된 문제

2017 국제수학올림피아드 1번문제

정수 $a_0>1$에 대하여, 수열 $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$을 다음과 같이 정의한다.

모든 $n\ge0$에 대하여 \[ a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n},&\sqrt{a_n}\text{이 정수인 경우}\\ a_n+3,&\text{그 외의 경우}\end{cases}\]

무한히 많은 $n$의 값에 대하여 $a_n=A$가 되는 수 $A$가 존재하도록 하는 $a_0$의 값을 모두 구하여라.

  1. 2017 국제수학올림피아드 2번문제 2017 국제수학올림피아드 2번문제에 댓글 닫힘
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  4. 2017 국제수학올림피아드 5번문제 2017 국제수학올림피아드 5번문제에 댓글 닫힘
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