소개

Art of Problem Solving 홈페이지처럼 수학올림피아드 문제자료를 손쉽게 검색하고 찾을 수 있는 홈페이지가 한국어로 된 것이 없었습니다. 그래서 문제별로 검색이 가능하고 댓글로 풀이를 토론할 수 있는 홈페이지를 만들게 되었습니다.

2012 제73회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A1

개구간 $(1,12)$에서 12개의 실수 $d_1,d_2,\ldots,d_{12}$를 아무렇게나 잡더라도, $d_i$, $d_j$, $d_k$가 예각삼각형의 세 변의 길이가 되도록 세 수 $1\le i<j<k\le 12$를 잡을 수 있음을 보여라. (2012년 12월 1일)

2016 Baltic Way 팀수학경시대회 19번문제

각 꼭지점의 좌표가 모두 정수인 평면 위의 삼각형들을 생각하자. 그러한 삼각형의 한 꼭지점을 그 꼭지점을 포함하지 않는 변과 평행한 직선을 따라 이동하여 다른 정수 좌표인 점으로 이동시키는 작업을 합법적인 변환이라고 하자. 두 삼각형의 넓이가 같으면 합법적인 이동을 여러번 하여 한 삼각형을 다른 삼각형으로 변환시킬 수 있음을 보여라.

1996 제9회 한국수학올림피아드 최종시험 6번문제

함수 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ($\mathbb{R}$은 실수전체의 집합)가 다음 두 조건을 만족시키고 있다. (i) $f(0)=0,\ f(1)=1$ (ii) $x\ne 0$ 일 때 $f(x^2+\frac 1x)=\{f(x)\}^2+f(\frac 1x)$ 이 때, 함수 $f$는 최대값을 갖지 않음을 증명하여라. (1996년 4월 14일)

2015 Baltic Way 팀수학경시대회 20번문제

정수 $n\ge 2$에 대해, 다음 성질을 만족하는 양의 정수 $m$의 수를 $A_n$이라 하자: $n$과 가장 가까운 $m$의 배수와 $n$ 사이의 거리가 $n^3$과 가장 가장 가까운 $m$의 배수와 $n^3$ 사이의 거리가 같다. $A_n$이 홀수인 모든 정수 $n\ge 2$를 구하라. (두 정수 $a$, $b$ 사이의 거리는 $|a-b|$로 정의한다.)

2013 국제수학올림피아드 Short List C6

어떤 나라의 항공노선은 어떤 두 도시를 직항으로 왕복하는 노선으로 구성되어 있다. 임의의 도시에서 다른 도시로 여러 항공편을 갈아타고 갈 수 있었으며, 두 도시의 '거리'를 한 도시에서 다른 도시로 항공편으로 이동할 때 필요한 항공편 탑승 회수의 최솟값이라고 하자. 임의의 도시에서 정확히 거리 3 떨어진 도시의 수가 100개 이하였다고 한다. 이때 거리가 정확히 4 떨어진 도시를 2550개보다 많이 가진 도시는 존재하지 않음을 보여라.

2014 일본수학올림피아드 본선 5번문제

부등식 \[\frac{a}{1+9bc+k(b-c)^2}+\frac{b}{1+9ca+k(c-a)^2}+\frac{c}{1+9ab+k(a-b)^2}\geq\frac{1}{2}\]이 $a+b+c=1$을 만족시키는 임의의 $a,b,c \geq 0$에 대해 성립하게 하는 $k$의 최댓값을 구하여라.

1997 제10회 한국수학올림피아드 최종시험 3번문제

양의 실수 위에서 정의된 두 함수 $f, g$ 가 다음 두 조건을 만족한다. (i) $x<y$ 이면 $f(x) < f(y)$. (ii) 모든 $x, y$ 에 대하여 $f(xy)=g(y)f(x)+f(y)$. 이러한 조건을 만족하는 함수 $f, g$ 의 쌍을 모두 구하여라. (1997년 4월 19일)

2017 인도수학올림피아드 1번문제

정사각형 모양의 색종이 $ABCD$가 있다. 변 $AB$ 위의 어떤 점 $E$, 변 $CD$ 위의 어떤 점 $F$에 대하여 직선 $EF$를 기준으로 색종이를 접었을 때, 점 $A$가 이동하여 얻어진 점 $A'$이 변 $BC$ 위에 있으며, 점 $D$가 이동하여 얻어진 점이 $D'$이라 한다. 직선 $A'D'$이 $CD$와 만나는 점을 $G$라 하자. 이때, 삼각형 $GCA'$의 내접원의 반지름은 삼각형 $GD'F$의 내접원의 반지름과 삼각형 $A'BE$의 내접원의 반지름의 합임을 보여라.

2013 인도수학올림피아드 4번문제

$1$보다 큰 정수 $n$에 대해, 집합 $\{1,2,\ldots,n\}$의 공집합 아닌 부분집합 중 원소의 평균이 정수가 되는 것의 수를 $T_n$이라 하자. 이때 $T_n-n$은 항상 짝수임을 보여라. (2013년 2월 3일, 출처, Putnam 2002년 A3 문제와 동일)

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최근 추가된 문제

1998 아시아태평양수학올림피아드 1번문제

집합 $\{1, 2, \ldots,1998\}$의 부분집합 $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$으로 이루어진 순서쌍 $(A_1, A_2,\ldots, A_n)$ 전체의 집합을 $\mathcal F$라 할 때, \[ \sum_{(A_1,A_2,\ldots,A_n)\in \mathcal F} \lvert A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\rvert \]을 구하여라. 단, $\lvert A\rvert$는 집합 $A$의 원소의 개수를 나타낸다.

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