소개

Art of Problem Solving 홈페이지처럼 수학올림피아드 문제자료를 손쉽게 검색하고 찾을 수 있는 홈페이지가 한국어로 된 것이 없었습니다. 그래서 문제별로 검색이 가능하고 댓글로 풀이를 토론할 수 있는 홈페이지를 만들게 되었습니다.

2013 중국여자수학올림피아드 6번문제

집합 $\{0,1,2,\ldots,98\}$의 원소 $m(\ge 3)$개인 부분집합 $S$가 아래 조건을 만족한다고 한다. (조건) 임의의 $x,y\in S$에 대해 $x+y\equiv 2z\pmod {99}$인 $z\in S$가 존재한다. 이때 가능한 모든 $m$ 값을 구하여라. (2013년 8월 13일, 4시간 30분 동안 4문제, 중국 저장성, 출처)

2017 제30회 한국수학올림피아드 최종시험 6번문제

총 2017개의 상자가 원형으로 놓여 있는 방이 있다. 어떤 상자의 집합이 어울린다는 말은 그 집합에 속한 상자의 수가 2개 이상이며 그 집합에 속한 각 상자에서 시계 방향으로 이동할 때 그 집합에 속한 다음 상자를 처음으로 만날 때까지 넘어야 하는 상자의 개수가 0 또는 홀수임을 뜻한다. 30명의 학생이 차례로 그 방에 입장하여 자기가 고른 상자들의 집합이 어울리도록 여러 상자를 고른 후, 고른 상자마다 자기 이름이 적힌 쪽지를 하나씩 넣는다. 들어있는 쪽지의 개수가 30개인 상자 전체의 집합이 어울리지 않는 경우 다음 두 성질을 모두 만족하는 학생 A, B와 상자 a, b가 존재함을 보여라. (i) A는 a를 고르고 b를 고르지 않았으며 B는 b를 고르고 a를 고르지 않았다. (ii) a에서 시계 방향으로 b까지 이동하는 사이에 넘게 되는 a, b가 아닌 상자의 개수는 홀수가 아니며, 이러한 각 상자는 A와 B 중 누구도 고른 적이 없다.

1986 국제수학올림피아드 1번문제

$d$는 2, 5, 13이 아닌 자연수이다. 집합 $\{2,5,13,d\}$에서 $ab-1$ 이 완전제곱수가 아닌 서로 다른 두 수 $a$, $b$를 찾을 수 있음을 보여라.

2012 캐나다수학올림피아드 5번문제

어떤 책장에 $1$번부터 $n$번까지 번호가 붙은 책들이 적당한 순서로 꽃혀있다. 도서관 사서는 이 책을 아래와 같은 방식으로 정리하고자 한다. 원래 있어야 할 위치보다 오른쪽에 있는 번호가 $k$번인 책을 뽑아서 $k$번째 자리에 그 책을 넣는다. 예를 들어 책장에 책이 $1$, $3$, $2$, $4$가 있었다면 $2$번 책을 꺼내서 두 번째 자리에 꼽으면 그 후 책은 $1$, $2$, $3$, $4$로 맞는 순서로 정렬이 된다. (a) 이 과정을 반복한다면, 책을 어떤 순서로 사서가 뽑던지간에 언젠가는 책이 정확한 순서로 정렬됨을 보여라. (b) 최악의 경우 최대 몇번 이 작업을 해야 하는가?

2000 아일랜드 수학올림피아드 1번문제

자연수 $n$에 대해 $a(n) = n^2 + n + 1$꼴의 수들을 모두 모은 집합을 $S$라 하자. $a(n)a(n+1)$도 항상 $S$의 원소가 됨을 보이고, $S$의 두 원소 $s$, $t$에 대해 $st \notin S$ 가 되는 예를 하나 제시하여라.

1987 국제수학올림피아드 1번문제

집합 $\{1, \dots, n \}$의 순열중에서 정확하게 $k$개의 부동점을 갖는 것들의 개수를 $P_n(k)$라고 하자. $\sum_{k=0}^n k P_n(k) = n!$ 임을 증명하여라.

2012 제31회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 2번문제

다음 조건을 만족하는 연속함수 $f:[0,1]\to [0,\infty)$를 모두 구하여라. \[\int_0^1 x f(x)\,dx = 3\int_0^1 x^2 f(x)\,dx = 9 \int_0^1 x^3 f(x)\,dx.\] (2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)

2012 Baltic Way 팀수학경시대회 17번문제

양의 정수 $n$의 양의 약수의 개수를 $d(n)$이라 하자. 등식 \[ n^{d(n)}-1=p^k\]을 만족시키는 양의 정수 $n$, $k$와 소수 $p$의 순서쌍 $(n,k,p)$를 모두 구하여라.

2015 제34회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 4번문제

모든 성분이 유리수이고 크기가 $5\times 5$인 행렬 $A$의 한 고유벡터가 $(1,\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4,\sqrt5)^T$이다. 이 때, $A^T$는 모든 성분이 유리수인 고유벡터를 가짐을 보여라. (단, $A^T$는 $A$의 전치행렬)

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최근 추가된 문제

2017 국제수학올림피아드 1번문제

정수 $a_0>1$에 대하여, 수열 $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$을 다음과 같이 정의한다.

모든 $n\ge0$에 대하여 \[ a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n},&\sqrt{a_n}\text{이 정수인 경우}\\ a_n+3,&\text{그 외의 경우}\end{cases}\]

무한히 많은 $n$의 값에 대하여 $a_n=A$가 되는 수 $A$가 존재하도록 하는 $a_0$의 값을 모두 구하여라.

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