소개

Art of Problem Solving 홈페이지처럼 수학올림피아드 문제자료를 손쉽게 검색하고 찾을 수 있는 홈페이지가 한국어로 된 것이 없었습니다. 그래서 문제별로 검색이 가능하고 댓글로 풀이를 토론할 수 있는 홈페이지를 만들게 되었습니다.

2014 일본수학올림피아드 본선 1번문제

삼각형 $ABC$의 외심을 $O$라 하자. 변 $BC$의 중점을 지나고 $\angle BAC$의 이등분선에 수직한 직선을 $l$이라 하자. $l$이 선분 $AO$의 중점을 지날 때, $\angle BAC$의 크기를 구하여라.

1996 아일랜드 수학올림피아드 4번문제

삼각형 $ABC$의 변 $BC$의 중점을 $F$라 하자. 변 $AB$와 $AC$의 바깥쪽으로, $D$와 $E$에서의 꼭지각이 직각인 이등변삼각형 $ABD$와 $ACE$를 그렸다. $DEF$도 직각이등변삼각형임을 증명하여라.

2003 아일랜드 수학올림피아드 6번문제

둘레의 길이의 합이 2인 삼각형의 세 변의 길이를 $a$, $b$, $c$라 할 때, 다음 부등식을 증명하여라.\[ 1 \le ab + bc + ca - abc \le 1 + \frac1{27}\]

2014 제28회 한국수학올림피아드 고등부 4번문제

총 $n$개의 지하철역의 위치가 정$n$각형을 이루고 있는 도시가 있다. 지하철 1호선은 이 정$n$각형에서 이웃하지 않은 두 지하철역 $A$와 $B$만을 직선으로 연결한 노선이다. 지하철 2호선은 정$n$각형 형태로 이 도시의 지하철역을 모두 지나는 순환형 노선이다. 지하철은 각 노선에서 양방향으로 모두 운행되며, $A$와 $B$는 다른 노선으로 갈아탈 수 있는 역이다. 지하철 각 노선에서 이웃한 두 지하철역 사이를 하나의 지하철 구간이라 하자. 각 지하철역의 역장은 1명이며 여자가 역장인 지하철역도 있고 남자가 역장인 지하철역도 있다고 하자. 이때 $n$이 홀수이면, 모든 정수 $k$ ($0< k<n$)에 대하여, 정확히 $k$개의 지하철 구간을 이용하여 남자가 역장인 어느 지하철역에서 여자가 역장인 지하철역으로 같은 역을 두 번 들르지 않고 이동할 수 있음을 보여라.

1979 미국수학올림피아드 3번문제

각 면에 임의의 정수가 부여된 $n$개의 면을 가지고 있는 동일한 주사위 3개가 있다. 이들을 던졌을 때 세 주사위 바닥에 나오는 세 수의 합이 3으로 나누어 떨어질 확률은 $1/4$ 이상임을 보여라.

2014 제75회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B4

모든 양의 정수 $n$에 대해 다항식 \[\sum_{k=0}^{n}2^{k(n-k)}x^k\]의 모든 해는 실수임을 보여라.

1989 제2회 한국수학올림피아드 최종시험 3번문제

$f(x)=|x^2-1|$ ($x$는 실수), $f^{(2)} (x)=f\circ f(x)=f\{f(x)\}$, $f^{(n)} (x)=f(f^{(n-1)}(x))\quad (n=1, 2, \cdots )$ 이라 한다. (1) 임의의 자연수 $n$에 대하여 $f^{(n)} (x)=0$ 의 근과 $f^{(n)}(x)=1$ 의 근을 크기 순으로 나열하면 두 방정식의 근이 교대로 배열됨을 밝혀라. (2) 모든 자연수 $n$에 대하여 $f^{(n)} (x)=0$의 근과 $f^{(n)} (x)=1$ 의 근을 모두 포함하는 최소의 개구간을 구하여라.

2013 Baltic Way 팀수학경시대회 3번문제

실수의 집합을 $\mathbb{R}$이라 하자. 이때, 모든 $x,y\in \mathbb{R}$에 대해 \[ f(xf(y)+y)+f(-f(x))=f(yf(x)-y)+y\]를 만족시키는 모든 함수 $f:\mathbb R\to \mathbb R$을 구하여라.

1993 제6회 한국수학올림피아드 최종시험 2번문제

$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$인 삼각형 $ABC$가 주어져 있다. \[ a\cdot AP^2+b \cdot BP^2+c\cdot CP^2\]을 최소로 하는 점 $P$와 그 최소값을 구하여라.

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최근 추가된 문제

  1. 2008 아일랜드 수학올림피아드 오전 2번문제 댓글 남기기
  2. 2008 아일랜드 수학올림피아드 오전 3번문제 댓글 남기기
  3. 2008 아일랜드 수학올림피아드 오전 4번문제 댓글 남기기
  4. 2008 아일랜드 수학올림피아드 오전 5번문제 댓글 남기기
  5. 2008 아일랜드 수학올림피아드 오후 1번문제 댓글 남기기