소개

Art of Problem Solving 홈페이지처럼 수학올림피아드 문제자료를 손쉽게 검색하고 찾을 수 있는 홈페이지가 한국어로 된 것이 없었습니다. 그래서 문제별로 검색이 가능하고 댓글로 풀이를 토론할 수 있는 홈페이지를 만들게 되었습니다.

2017 영국수학올림피아드 (BMO) 2라운드 2번문제

실수 $x$보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 정수를 $\lfloor x\rfloor$라 하자. 양의 정수 $n$에 대해 \[ a_n=\frac1n \left( \lfloor \frac{n}{1} \rfloor +\lfloor \frac{n}{2} \rfloor +\cdots+\lfloor \frac{n}{n} \rfloor \right)\]으로 정의된 수열 $a_1$, $a_2$, $\ldots$이 있다. 이때 무한히 많은 $n$에 대해 $a_{n+1}\gt a_n$임을 보여라. 그리고 무한히 많은 $n$에 대해 $a_{n+1}\lt a_n$이 되는지 판별하라.

2017 제30회 한국수학올림피아드 최종시험 6번문제

총 2017개의 상자가 원형으로 놓여 있는 방이 있다. 어떤 상자의 집합이 어울린다는 말은 그 집합에 속한 상자의 수가 2개 이상이며 그 집합에 속한 각 상자에서 시계 방향으로 이동할 때 그 집합에 속한 다음 상자를 처음으로 만날 때까지 넘어야 하는 상자의 개수가 0 또는 홀수임을 뜻한다. 30명의 학생이 차례로 그 방에 입장하여 자기가 고른 상자들의 집합이 어울리도록 여러 상자를 고른 후, 고른 상자마다 자기 이름이 적힌 쪽지를 하나씩 넣는다. 들어있는 쪽지의 개수가 30개인 상자 전체의 집합이 어울리지 않는 경우 다음 두 성질을 모두 만족하는 학생 A, B와 상자 a, b가 존재함을 보여라. (i) A는 a를 고르고 b를 고르지 않았으며 B는 b를 고르고 a를 고르지 않았다. (ii) a에서 시계 방향으로 b까지 이동하는 사이에 넘게 되는 a, b가 아닌 상자의 개수는 홀수가 아니며, 이러한 각 상자는 A와 B 중 누구도 고른 적이 없다.

2011 제24회 한국수학올림피아드 최종시험 3번문제

남학생 $a_1,a_2,\ldots,a_n$과 여학생 $b_1,b_2,\ldots,b_n$이 있다. 남학생끼리는 악수를 하지 않았고, 여학생끼리도 악수를 하지 않았으며, 모든 $i\in\{1,2,\ldots,n\}$에 대하여, $a_i$와 $b_i$는 악수를 하지 않았다. 이 학생 전체를 다음 조건을 만족하는 소그룹들로 나누고자 한다. (a) 소그룹 안의 남학생 수와 여학생 수가 같다. (b) 소그룹 안에서는 서로 악수를 한 학생이 없다. 서로 악수를 한 남학생, 여학생의 쌍 $(a_i, b_j)$의 개수가 $m$일 때, 소그룹의 개수를 $2$ 또는 $\frac{2m}{n} +1$ 이하가 되도록 만들 수 있음을 증명하여라. (2011년 3월 26일)

2003 제16회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제

어떤 전산실의 컴퓨터들이 다음과 같이 네트워크를 이루고 있다. 각각의 컴퓨터는 세 개의 케이블을 통하여 세 대의 다른 컴퓨터 와 직접 연결되어 있고, 임의의 두 컴퓨터는 직접 또는 (다른 컴퓨터들을 거쳐) 간접적으로 연결되어 서로 데이터를 주고 받을 수 있다. 이제 이 컴퓨터들 중 $K$대를 제거하여 서로 데이터를 주고받을 수 없는 두 대의 컴퓨터가 존재하거나 한 대의 컴퓨터만 남도록 하는 $K$의 최소값을 $k$라 하고, 한편 케이블 중 $L$개를 제거하여 서로 데이터를 주고 받을 수 없는 두 대의 컴퓨터가 존재하도록 하는 $L$의 최소값을 $\ell$이라고 하자. 이때, $k = \ell$임을 보여라. (2003년 4월 12일, 4시간 30분, 3문제, 출처)

1988 국제수학올림피아드 3번문제

자연수들의 집합 위에서 정의되는 함수 $f$가 모든 자연수 $n$에 대해 다음을 만족한다. \begin{align*} f(1) &= 1, ~~~~~ f(3)=3, ~~~~~ f(2n)=f(n), \\ f(4n+1) &= 2f(2n+1)-f(n) \\ f(4n+3) &= 3f(2n+1)-2f(n) \end{align*} $f(n)=n$ 을 만족하고 1988보다 작거나 같은 자연수 $n$의 개수를 구하여라.

2012 중국 TST1 둘째날 1번문제

평면 위의 두 원 $\omega_1$, $\omega_2$에 대해 $S$를 외접원이 $\omega_1$이고 변$BC$와 만나는 방접원이 $\omega_2$인 삼각형 $ABC$ 전체의 집합이라고 하자. 이때 $S$에 속한 각 삼각형 $ABC$에 대해 점 $D$, $E$, $F$를 각각 직선 $BC$, $CA$, $AB$가 $\omega_2$와 만나는 점이라 할 때, $S$가 공집합이 아니면 삼각형 $DEF$의 무게중심이 고정되어 있음을 증명하라.

2015 캐나다수학올림피아드 1번문제

양의 정수의 집합을 $\mathbb{N}$이라 하자. 모든 양의 정수 $n$에 대해 \[ (n-1)^2 \lt f(n) f(f(n)) \lt n^2+n\]을 만족시키는 함수 $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$을 모두 구하여라.

1989 미국수학올림피아드 5번문제

$u$와 $v$는 다음을 만족하는 실수이다. \[ (u + u^2 + u^3 + \cdots + u^8) + 10u^9 = (v + v^2 + v^3 + \cdots + v^{10}) + 10v^{11} = 8\] $u$와 $v$ 중 어느 쪽이 더 큰 지 밝히고, 그것을 증명하여라.

2014 미국수학올림피아드 6번문제

다음 성질을 만족시키는 $0$보다 큰 상수 $c$가 존재함을 증명하여라. 양의 정수 $a$, $b$, $c$가 모든 $i,j\in \{0,1,\ldots,n\}$에 대해 $\operatorname{gcd}(a+i,b+j)>1$을 만족시키면, $\min\{a,b\}\gt c^n \cdot n^{\frac{n}{2}}$이다.

자료 목록

최근 추가된 문제

2017 국제수학올림피아드 1번문제

정수 $a_0>1$에 대하여, 수열 $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$을 다음과 같이 정의한다.

모든 $n\ge0$에 대하여 \[ a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n},&\sqrt{a_n}\text{이 정수인 경우}\\ a_n+3,&\text{그 외의 경우}\end{cases}\]

무한히 많은 $n$의 값에 대하여 $a_n=A$가 되는 수 $A$가 존재하도록 하는 $a_0$의 값을 모두 구하여라.

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