2021 국제수학올림피아드 1번문제

$n$은 100 이상의 정수이다. 민수는 숫자 $n$, $n+1$, $\ldots$, $2n$을 서로 다른 $(n+1)$장의 카드에 각 각 하나씩 적고, 이 카드들을 섞은 후에 두 개의 묶음으로 나눴다. 이때 적어도 한 묶음에는 카드에 적힌 숫자의 합이 완전제곱수가 되는 두 장의 카드가 존재함을 보여라.

2021 국제수학올림피아드 3번문제

삼각형 $ABC$는 $AB > AC인 예각삼각형이고, 점 $D$는 삼각형 $ABC$의 내부의 점으로 $\angle DAB = \angle CAD$를 만족한다. 점 $E$는 선분 $AC$위의 점으로 $\angle ADE = \angle BCD$를 만족하고, 점 $F$는 선분 $AB$ 위의 점으로 $\angle FDA = \angle DBC$를 만족하고, 점 $X$는 직선 $AC$ 위의 점으로 $CX = BX$를 만족한다. 삼각형 $ADC$와 삼각형 $EXD$의 외심을 각각 $O_1$, $O_2$라 하자. 세 개의 직선 $BC$, $EF$, $O_1O_2$가 한 점에서 만남을 보여라.

2021 국제수학올림피아드 4번문제

사각형 $ABCD$는 볼록사각형이고, 중심이 $I$인 원 $\Gamma$는 선분 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$에 접한다. 삼각형 $AIC$의 외접원을 $\Omega$라고 하자. 선분 $BA$의 $A$쪽 연장선이 원 $\Omega$와 점 $X$에서 만나고, 선분 $BC$의 $C$쪽 연장선이 원 $\Omega$와 점 $Z$에서 만난다. 선분 $AD$와 $CD$의 $D$쪽 연장선들이 원 $\Omega$와 만나는 점을 각각 $Y$와 $T$라 하자. 다음이 성립함을 보여라. \[ AD + DT + TX + XA = CD + DY + YZ + ZC\]

2021 국제수학올림피아드 5번문제

두 마리의 다람쥐 갑과 을이 2021개의 도토리를 모았다. 을은 2021개의 도토리에 1부터 2021까지의 숫자를 적었고,2021개의 구멍을 원형 배열로 팠다. 다음 날 갑이 각각의 구멍에 임의로 도토리를 하나씩 집어넣었다. 을은 2021번의 시행을 통하여 도토리를 재배열하는데, $k$-번째 시행에서는 숫자 $k$가 적혀있는 도토리에 인접한 두 도토리의 위치를 서로 바꾼다. 이때 다음을 만족하는 $k$가 존재함을 보여라: $k$-번째 시행에서 위치를 바꾸는 두 도토리에 적힌 숫자 $a$, $b$가 $a < k < b$를 만족한다.

2021 국제수학올림피아드 6번문제

$m$은 2 이상의 정수이다. $A$는 (양수일 필요가 없는) 정수들로 구성된 유한 집합이고, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $\ldots$, $B_m$은 $A$의 부분집합들이다. 각각의 $k = 1,2,\ldots,m$에 대하여 $B_k$의 모든 원소의 합이 $m^k$이다. 이때 $A$가 적어도 $m/2$개의 원소를 포함함을 보여라.