$n\times n$ 모양의 체스판이 있다. 체스판에 있는 $n^2$개의 정사각형 칸 각각에는 $0$부터 $k$까지의 번호 중 하나가 나타나도록 되어 있다. 체스판의 각 행, 각 열에는 버튼이 하나씩 있는데, 버튼들 중 하나를 한번 누를 때마다 그 행(또는 그 열)에 있는 $n$개의 정사각형 칸에 나타나 있던 번호가 모두 $1$씩 늘어난다. 단, 나타나 있던 번호가 $k$인 경우는 $0$으로 바뀐다. 이렇게 버튼을 누르는 행위를 `시행’이라고 하자. 처음에는 $n^2$개의 정사각형 칸에 모두 $0$이 나타나 있었으나, 지금은 몇 번의 시행을 거쳐 번호들이 바뀐 상태이다. 지금 상태가 어떤 상태이든, $kn$번 이하의 시행으로 모든 칸의 번호가 다 $0$인 처음의 상태로 만들 수 있음을 보여라.
(2008년 3월 23일, 출처4시간 30분)