정수 $k\ge 2$에 대해, 다음 조건을 만족하는 서로 다른 $k$개의 양의 정수 $a_1, a_2, \ldots, a_k$가 존재함을 증명하여라.

임의의 음 아닌 정수 $b_1, b_2, \ldots,b_k, c_1,c_2,\ldots,c_k$에 대해, 만일 모든 $i=1,2,\ldots,k$에 대해 $a_i\le b_i\le 2a_i$이고 $\prod_{i=1}^k b_i^{c_i} <\prod_{i=1}^k b_i$이면, \[ k\prod_{i=1}^k b_i^{c_i}< \prod_{i=1}^k b_i\]이다.