2012 캐나다수학올림피아드 1번문제”에 대한 3개의 생각

  1. AM-GM에 의해
    $x^2+4 \geq 4x$
    $xy^2+4x \geq x(y^2+4) \geq 4xy$
    $xyz^2+4xy \geq 4xyz$
    위 세 식을 모두 더하면
    $x^2+xy^2+xyz^2+4 \geq 4xyz$ 가 성립한다.

  2. $x,y,z$의 차수를 맞춰주기 위해 각 항을 분리하면
    $x^2+xy^2+xyz^2+4=x^2+\frac{xy^2}{2}+\frac{xy^2}{2}+\frac{xyz^2}{4}+\frac{xyz^2}{4}+\frac{xyz^2}{4}+\frac{xyz^2}{4}+\frac{xyz^2}{4}+4$
    가 되고, 여기서 AM-GM에 의해
    $x^2+\frac{xy^2}{2}+\frac{xy^2}{2}+\frac{xyz^2}{4}+\frac{xyz^2}{4}+\frac{xyz^2}{4}+\frac{xyz^2}{4}+\frac{xyz^2}{4}+4 \geq 8 \sqrt[8]{x^8y^8z^8}{4^4}=8\frac{xyz}{2}=4xyz$

    • 죄송합니다
      $8\sqrt [8] {x^8y^8z^84^4}$을 $8\sqrt[8] {\frac{x^8y^8z^8}{4^4}}$으로 정정하겠습니다.

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