2011 중국여자수학올림피아드 둘째날 3번문제

$n$개의 상자 $B_1$, $B_2$, $\ldots$, $B_n$을 왼쪽부터 오른쪽으로 나열해두었다. 이 상자들 안에 총 $n$개의 공이 있다고 한다. 만일 $B_1$에 공이 적어도 하나 있다면 그 공을 $B_2$로 옮길 수 있다. 만일 $B_n$에 공이 하나 이상 있다면 그 공을 $B_{n-1}$로 옮길 수 있다고 하자. 만일  $2\le k\le n-1$에 대해 $B_k$에 공이 $2$개 이상 있다면 공 하나는 $B_{k-1}$로, 다른 것은 $B_{k+1}$로 옮길 수 있다고 하자. 이때 처음에 공 $n$개가 어떻게 들어있던지 간에 위의 방법을 잘 쓰면 모든 상자가 공을 정확히 하나 갖도록 공을 옮길 수 있음을 증명하라.

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