수열 $a_0$, $a_1$, $\ldots$을 아래와 같이 정의하자: $a_0=1$, $a_0=\frac{1}{2}$, \[a_{n+1}=\frac{n a_n^2}{1+(n+1)a_n}, \quad \forall n\ge 1.\]
이때 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_{k+1}}{a_k}$은 수렴함을 증명하고 그 값을 구하라.

(2012년 7월 29일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)