2012 이란 TST 시험1 둘째날 1번문제

평면 상에 $m+1$개의 수평선과 $n+1$개의 수직선($m,n\ge 4)$으로 만든 $m\times n$ 바둑판 형태의 그림이 주어져있다. 이 선들의 일부를 모으되, 같은 점을 2번 이상 지나지 않고, 바둑판 내부의 $(m-1)(n-1)$개 교차점들(수평선과 수직선의 교점) 모두를 지나며, 바둑판 가장자리 점은 전혀 지나지 않는 폐곡선을 생각하자. 이 폐곡선이 일직선으로 통과하는 점의 수를 $A$라 하고, 바둑판을 이루는 $m\times n$개의 사각형 중에 맞은 편에 위치한 두 변만이 이 폐곡선에 사용된 것의 수를 $B$라 하자. 바둑판을 이루는 $m\times n$개 사각형 중에 어느 변도 이 폐곡선에 쓰이지 않은 것의 수를 $C$라 하자. 이때 아래 등식을 증명하라. \[ A=B-C+m+n-1.\]

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