수열 $\{a_n\}$을 다음과 같이 정의하자: $a_1=1$이고 양의 정수 $n\ge 1$에 대해 $a_{n+1}=3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}}$이다.
이때 $a_n$이 $n$이 커질 때 수렴함을 보이고 그 극한값을 구하라.
(5점, 2013년 1월 11일, 총 180분)