양의 정수 $n$($\ge 2$)에 대하여, $1\le i\lt j\le n$이고, $i$가 $j$의 약수인 모든 정수의 순서쌍 $(i, j)$들의 집합을 $T$라 하자. 음 아닌 실수 $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $ x_n$이 $x_1+x_2+\ldots+x_n=1$을 만족할 때 다음 식의 최댓값을 $n$에 대한 함수로 나타내어라. \[\sum_{(i,j)\in T} x_i x_j\]
(2013년 3월 23일, 4시간 30분)