삼각형 $ABC$의 꼭지점 $B$, $C$에 마주 보는 방심을 각각 $B_1$, $C_1$이라 하자. 직선 $B_1C_1$이 삼각형 $ABC$의 외접원과 $D$($\neq A$)에서 만난다고 하자. $B_1$에서 $CA$에 내린 수선과 $C_1$에서 $AB$에 내린 수선의 교점을 $E$라 하자. 삼각형 $ADE$의 외접원 $\omega$의 점 $D$에서의 접선과 직선 $AE$가 점 $F$에서 만난다고 하자. $D$에서 $AE$에 내린 수선의 발을 $G$, 이 수선이 $\omega$와 만나는 점을 $H$($\neq D$)라 하자. 삼각형 $HGF$의 외접원과 $\omega$의 교점을 $I$($\neq H$)라 하고, $D$에서 직선 $AH$에 내린 수선의 발을 $J$라 할 때, $AI$가 선분 $DJ$의 중점을 지남을 보여라.
(2013년 3월 24일, 4시간 30분)