그림과 같이 사각형 $ABCD$가 원 $\omega$에 내접한다고 하고, $AC$, $BD$는 점 $F$에서 만나고, 직선 $BA$와 직선 $CD$가 점 $E$에서 만난다. 점 $F$에서 $AB$, $CD$ 위에 내린 수선의 발을 각각 $G$, $H$라 하고, 점 $M$, $N$은 각각 선분 $BC$, $EF$의 중점이라 하자. 삼각형 $MNG$의 외접원과 선분 $BF$의 유일한 교점을 $P$, 삼각형 $MNH$의 외접원과 선분 $CF$의 유일한 교점을 $Q$라 할때, 직선 $PQ$가 직선 $BC$와 평행함을 보여라.

(2013년 3월 13일, 출처, 4시간 30분)