최대공약수가 $1$인 $n\ge 2$개의 양의 정수 $a_1$, $a_2,\ldots,a_n$에 대해, 그 합을 $A$라 하고, $A$와 $a_i$의 최대공약수를 $d_i$라 하며, $a_1,a_2,\ldots,a_n$에서 $a_i$를 뺀 나머지 $n-1$개 수의 최대공약수를 $D_i$라 하자. 이때 $\prod_{i=1}^n \frac{A-a_i}{d_i D_i}$의 최솟값을 구하여라.
(2013년 3월 24일, 출처, 4시간 30분)