정수 $n$($\ge 3$)에 대하여, 원주 위에 등간격으로 놓여 있는 $n+1$개의 점을 생각하자. 이 점들에 정수 $0$, $1$, $\ldots$, $n$을 하나씩 배열한다. 한 배열을 회전시켜서 얻어지는 배열들은 모두 같은 배열로 간주한다. 어떤 배열이 다음 조건을 만족할 때, 그 배열을 ‘아름다운 원순열’이라 부르자:

(조건) $0 \le a\lt b\lt c\lt d\le n$이고 $a+d=b+c$인 임의의 네 정수 $a$, $b$, $c$, $d$에 대하여, $a$와 $d$를 잇는 현과 $b$와 $c$를 잇는 현이 만나지 않는다.

아름다운 원순열의 개수를 $M$이라 하고, $x + y \le n$과 $\gcd(x, y) = 1$을 모두 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(x,y)$의 개수를 $N$이라 할 때, 다음을 증명하여라:\[M = N + 1.\]
(2013년 7월 24일 콜롬비아, 출처, 4시간 30분동안 3문제)