삼각형 $ABC$의 수심을 $H$, 무게 중심을 $G$, 외접원의 반지름을 $R$, 세 변의 길이를 $a, b, c$라 할 때 다음에 답하여라.
(1) $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BG}\cdot\overrightarrow{GH}+\overrightarrow{CG}\cdot\overrightarrow{CH}=\frac 13 (a^2+b^2+c^2)$임을 증명하여라.
(2) $\overline{GH}^2$을 $R$과 $a, b, c$로 나타내어라.