연속이고 단조증가인 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$이 모든 $x,y\in \mathbb R$에 대해 \[ f^{-1} \left(\frac{f(x)+f(y)}{2}\right)(f(x)+f(y))=(x+y) f\left(\frac{x+y}{2}\right)\]인 함수가 있다고 한다. 이때 모든 $x\in \mathbb R$에 대해 $f(x)=ax+b$가 성립할 실수 상수 $a\neq 0$, $b$가 존재함을 증명하라.