2013 제74회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B2

\[f(x)=1+\sum_{n=1}^N a_n \cos(2\pi nx)\]꼴의 함수 중
(i) 모든 실수 $x$에 대해 $f(x)\ge 0$이고
(ii) 모든 3의 배수 $n$에 대해 $a_n=0$
인 것들을 모은 것의 집합을 $C_N$이라 하고 $C=\cup_{N=1}^\infty C_N$이라 하자. 이때 $f\in C$인 함수 중 $f(0)$ 값의 최대값은 무엇인지 그것의 존재성을 증명하고 값도 구하여라.

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