총 $n$개의 지하철역의 위치가 정$n$각형을 이루고 있는 도시가 있다. 지하철 1호선은 이 정$n$각형에서 이웃하지 않은 두 지하철역 $A$와 $B$만을 직선으로 연결한 노선이다. 지하철 2호선은 정$n$각형 형태로 이 도시의 지하철역을 모두 지나는 순환형 노선이다. 지하철은 각 노선에서 양방향으로 모두 운행되며, $A$와 $B$는 다른 노선으로 갈아탈 수 있는 역이다. 지하철 각 노선에서 이웃한 두 지하철역 사이를 하나의 지하철 구간이라 하자. 각 지하철역의 역장은 1명이며 여자가 역장인 지하철역도 있고 남자가 역장인 지하철역도 있다고 하자.

이때 $n$이 홀수이면, 모든 정수 $k$ ($0< k<n$)에 대하여, 정확히 $k$개의 지하철 구간을 이용하여 남자가 역장인 어느 지하철역에서 여자가 역장인 지하철역으로 같은 역을 두 번 들르지 않고 이동할 수 있음을 보여라.