양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$인 실행력 $A$, $B$가 $xA+yB=I$ (단, $x,y$는 $0$이 아닌 실수), $AB=O$를 만족할 때, \[ \det(A+B)=\frac{1}{x^{\operatorname{rank}(A)}y^{\operatorname{rank}(B)}}\]가 성립함을 보여라.