모든 항이 실수인 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$은 \[\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n)=0,\quad \lim_{n\to\infty} (e^{a_n}+e^{b_n})=2\]를 만족한다. 수열 $\{a_n\}$이 수렴함을 보여라.