다음을 만족하는 실수 $x$가 존재하는 가장 큰 자연수 $n$을 구하여라:\begin{gather*} 2^1 < x^1 + x^2 < 2^2 \\ 2^2 < x^2 + x^3 < 2^3 \\ \vdots \\ 2^n < x^n + x^{n+1} < 2^{n+1} \end{gather*}