$a$, $b$, $n$은 1보다 큰 자연수이고, 이제부터 $a$진법과 $b$진법에 대해 생각하기로 하자. $A_{n-1}$과 $A_n$는 $a$진법으로 나타낸 수들이고, $B_{n-1}$과 $B_n$는 $b$진법으로 나타낸 수들이다. 이 수들은 다음과 같은 관계가 있다:\[\left. \begin{aligned} A_n &= x_n x_{n-1} \cdots x_0, \\ B_n &= x_n x_{n-1} \cdots x_0, \end{aligned} \quad \begin{aligned} A_{n-1} &= x_{n-1}x_{n-2} \cdots x_0 \\ B_{n-1} &= x_{n-1}x_{n-2} \cdots x_0 \end{aligned} \right\} ~ \text{($x_n \neq 0$, $x_{n-1} \neq 0$)} \] 다음을 증명하여라. \[ \frac{A_{n-1}}{A_n} < \frac{B_{n-1}}{B_n} ~\Longleftrightarrow~ a>b \]