1974 미국수학올림피아드 2번문제”에 대한 3개의 생각

  1. w.l.o.g. a>=b>=c
    양쪽 식에 log를 취하면
    aloga+blogb+clogc-(a+b+c/3)(loga+logb+logc)
    sigma((2a-b-c/3)loga)
    sigma((a-b/3)(loga-logb))>=0

    • weighted AM-GM에 의해
      $(abc)^{\frac{1}{a+b+c}}\geq \frac{a+b+c}{\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}}=\frac{a+b+c}{3}$

      AM-GM에 의해
      $\frac {a+b+c}{3} \geq (abc)^{\frac{1}{3}}$
      $(abc)^{\frac{1}{a+b+c}}\geq (abc)^{\frac{1}{3}}$ 이고, 이것은 위문제와 동치

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