1974 미국수학올림피아드 1974 미국수학올림피아드 2번문제 임의의 양의 실수 $a$, $b$, $c$에 대해 다음 부등식을 증명하여라.\[ a^a b^b c^c \ge (abc)^{\frac{a+b+c}3}\] GD Star Ratingloading...1974 미국수학올림피아드 2번문제, 5.0 out of 5 based on 1 rating 공유하기:트위터Facebook더인쇄전자우편이것이 좋아요:좋아하기 가져오는 중... 관련
w.l.o.g. a>=b>=c 양쪽 식에 log를 취하면 aloga+blogb+clogc-(a+b+c/3)(loga+logb+logc) sigma((2a-b-c/3)loga) sigma((a-b/3)(loga-logb))>=0
weighted AM-GM에 의해 $(abc)^{\frac{1}{a+b+c}}\geq \frac{a+b+c}{\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}}=\frac{a+b+c}{3}$ AM-GM에 의해 $\frac {a+b+c}{3} \geq (abc)^{\frac{1}{3}}$ $(abc)^{\frac{1}{a+b+c}}\geq (abc)^{\frac{1}{3}}$ 이고, 이것은 위문제와 동치
w.l.o.g. a>=b>=c
양쪽 식에 log를 취하면
aloga+blogb+clogc-(a+b+c/3)(loga+logb+logc)
sigma((2a-b-c/3)loga)
sigma((a-b/3)(loga-logb))>=0
weighted AM-GM에 의해
$frac {1}{2}$
weighted AM-GM에 의해
$(abc)^{\frac{1}{a+b+c}}\geq \frac{a+b+c}{\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}}=\frac{a+b+c}{3}$
AM-GM에 의해
$\frac {a+b+c}{3} \geq (abc)^{\frac{1}{3}}$
$(abc)^{\frac{1}{a+b+c}}\geq (abc)^{\frac{1}{3}}$ 이고, 이것은 위문제와 동치