양의 정수들의 집합에서 다음과 같은 규칙으로 정의된 함수 $f(n)$이 있다.\[ f(1)=2, \qquad f(n+1) = (f(n))^2 – f(n) + 1 \quad (n=1,2,3,\ldots)\] 모든 정수 $n>1$ 에 대해 다음을 증명하여라.\[ 1 – \frac1{2^{2^{n-1}}} < \frac1{f(1)} + \frac1{f(2)} + \cdots + \frac1{f(n)} < 1 - \frac1{2^{2^n}}\]