다음과 같이 수직선 위에서 혼자 하는 놀이가 있다: 이 놀이에서는 수직선의 어떤 정수점에 원판들이 쌓이게 된다. 두 장 이상의 원판이 쌓인 점 $j$를 하나 택하고, 거기서 이웃한 점 $j-1$과 $j+1$로 한 장씩 옮겨쌓는 움직임만이 허용된다. 처음에는 원점에만 $2n+1$개의 원판이 있었다.
이 놀이는 $\frac16n(n+1)(2n+1)$번의 움직임이면 어떻게 했어도 항상 더 이상의 움직임이 불가능하여 놀이가 끝나게 됨을 증명하여라. 그리고, 놀이가 끝났을 때는 항상 $-n$부터 $n$까지의 모든 점에 원판이 하나씩 있게 됨을 보여라.