$\overline{AB}=20$, $\overline{BC}=12$인 직사각형 $ABCD$가 $20\times12$개의 합동인 정사각형으로 나누어져 있고, 자연수 $r$이 주어져 있다. 한 정사각형에 놓인 동전을 다른 정사각형으로 이동시킬 수 있는 것은 그 두 정사각형의 중심사이의 거리가 $\sqrt{r}$일 때에만 가능하다고 한다. $A$를 꼭짓점으로 가지고 있는 정사각형에 놓인 동전을 $B$를 꼭짓점으로 가지고 있는 정사각형으로 이동시킬 수 있는 경로를 찾고자 한다.
(a) $r$이 2 또는 3의 배수일 때는 그러한 경로가 존재하지 않음을 증명하라.
(b) $r=73$일 때, 그러한 경로가 존재함을 증명하여라.
(c) $r=97$일 때, 그러한 경로가 존재하는지 존재하지 않는지를 밝혀라.