1보다 큰 모든 홀수의 집합을 $S$라 하자. 각각의 $x \in S$ 에 대해 부등식 $2^{\delta(x)} < x < 2^{\delta(x)+1}$ 을 만족하는 유일한 정수를 $\delta(x)$라 한다. 임의의 $a,b \in S$ 에 대해 \[ a \ast b = 2^{\delta(a)-1}(b-3)+a\]라고 정의한다. [예를 들어, $5\ast 7$을 계산해보자. $2^2 < 5 < 2^3$ 이므로 $\delta(5)=2$ 이다. 따라서, $5\ast 7 = 2^{2-1}(7-3)+5 = 13 $ 이다. 또 $2^2 < 7 < 2^3$ 이므로 $\delta(7)=2$ 가 되고 $7\ast 5 = 2^{2-1}(5-3)+7 = 11$ 이다.] $a,b,c\in S$ 일 때 다음을 증명하라. (1) $a\ast b \in S$ (2) $(a\ast b)\ast c = a\ast(b\ast c)$