삼각형 $ABC$에서, $A$와 $B$를 지나는 한 원이 변 $AC$, $BC$와 각각 $D$, $E$에서 만난다. 직선 $AB$와 $DE$는 $F$에서 만나고 직선 $BD$와 $CF$는 $M$에서 만난다. $MF = MC$ 이면, 또 그 때만 $MB \cdot MD = MC^2$ 임을 증명하여라.