주어진 양의 정수 $k$에 대하여 다음 조건을 만족하는 두 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$이 있다.\begin{align*}a_1&=k, & a_2&=k, & a_{n+2}&= a_n a_{n+1} \quad(n\ge 1)\\b_1&=1,& b_2&=k, & b_{n+2}&=\frac{b_{n+1}^3+1}{b_n} \quad (n\ge 1)\end{align*}모든 양의 정수 $n$에 대하여 $a_{2n}b_{n+3}$은 정수임을 보여라.