2014 캐나다수학올림피아드 1번문제

전체를 곱하면 $1$이 되는 양수의 수열 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$이 있다. 이때 다음 식 \[ \frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{(1+a_1)(1+a_2)}+\frac{a_3}{(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)}+\cdots+\frac{a_n}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)}\]의 값은  $\frac{2^n-1}{2^n}$보다 크거나 같음을 보여라.

GD Star Rating
loading...
이 글은 대수 카테고리에 분류되었고 mo님에 의해 작성되었습니다. 고유주소 북마크.

2014 캐나다수학올림피아드 1번문제”에 대한 1개의 생각

  1. $\frac{a_1}{1+a_1}+\frac{a_2}{(1+a_1)(1+a_2)}+\frac{a_3}{(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)}+\cdots+\frac{a_n}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)}$
    $=\frac{(1+a_1)(1+a_2)+\cdots+\(1+a_n)-1}{(1+a_1)(1+a_2)+\cdots+\(1+a_n)}$ 임을 알 수 있다.(수학적 귀납법으로 증명가능)
    모든 양의 실수 $k$에 대해
    $1+a_k \geq 2\sqrt {a_k}$가 성립하므로 $\left[\prod \left(\frac{1+a_1}{2}\right)\right] \geq \sqrt{a_1\cdots a_n} = 1$
    \begin{align*}\prod (1+a_1) &\geq 2^n\\ \frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)} &\leq \frac{1}{2^n}\\ 1 – \frac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)} &\geq 1 – \frac{1}{2^n} \\ \frac{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n) – 1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)} &\geq \frac{2^n-1}{2^n}\end{align*}
    즉 주어진 부등식이 성립한다.

댓글은 닫혔습니다.