양의 정수 $k$에 대해 $[1,\sqrt{2k})$에 들어있는 $k$의 홀수인 약수의 수를 $A(k)$라 하자. 이때 다음 식의 값을 구하시오. \[ \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{A(k)}{k}.\]