양의 정수의 집합 $\mathbb Z_{>0}$의 원소 각각을 $k$개의 색 중 하나로 잘 칠했을 때 다음 두 성질을 모두 만족시키는 함수 $f:\mathbb Z_{>0}\to \mathbb{Z}_{>0}$가 존재한다고 한다. 이렇게 될 최소의 양의 정수 $k$ 값을 구하여라.

(i) 두 양의 정수 $m$, $n$의 색이 같으면 $f(m+n)=f(m)+f(n)$.

(ii) $f(m+n)\neq f(m)+f(n)$인 양의 정수 $m$, $n$이 존재한다.

집합 $\mathbb Z_{>0}$의 원소 각각을 $k$개의 색 중 하나로 칠한다는 말은 각각의 양의 정수를 $k$개의 색 중 정확히 하나로 칠한다는 말이다. (i), (ii) 조건에서 양의 정수 $m$, $n$은 같을 수도 있다.