주어진 $n\times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$가 $1\le i,j\le n$에 대하여 다음을 만족시킨다. \[ a_{ij}=\begin{cases} i^2-1, &\text{$i=j$일 때,}\\ij,&\text{$i\neq j$일 때.}\end{cases}\] 이 행렬 $A$의 모든 고유치(eigenvalue)들과 행렬식을 구하라.