2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 7번문제

좌표평면 위에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 원판 $D$가 있다.

(1) 다음 이중적분의 값을 구하여라.\[\int\int_D \frac1{\sqrt{1-x^2-y^2}}\,dx\,dy.\]

(2) 가로의 길이가 2011이고 세로의 길이가 각각 $a_1,\ldots,a_n$인 $n$개의 직사각형 종이조각이 주어져 있다. 만약 $\sum_{i=1}^n a_i<2$이면, 이 종이들로 원판 $D$를 덮을 수 없음을 보여라. (단, 종이들을 겹치는 것은 허용하되 접거나 찢는 것은 허용하지 않는다.)

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