수열 $\{y_n\}$은 $y_1=1$, $y_2=3$이고, 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 \[ y_{n+2}=\frac2{n} \left( (n^2+3n+1)y_{n+1}-2(n+1)^2 y_n\right)\]을 만족한다. 이 수열의 모든 항은 양의 정수임을 보여라.