다음과 같이 함수 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$을 정의하자. \[f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x-1} \qquad & (x>1)\\1 & (x=1)\\\dfrac{x}{1-x} & (x<1)\end{cases}\]양의 무리수 $x_1$이 어떤 정수 계수 이차방정식의 해라고 하자. 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $x_{n+1}=f(x_n)$으로 정의하자. 이 때, $x_k=x_\ell$을 만족하는 서로 다른 두 양의 정수 $k$, $\ell$이 존재함을 보여라. (단, $\mathbb{R}$은 실수 전체의 집합이다.)