모든 양의 유리수 $x$, $y$에 대하여 \[ f(xy)\cdot \operatorname{gcd} (f(x)f(y),f(\frac1x)f(\frac1y))=xyf(\frac1x)f(\frac1y)\]를 만족시키는 모든 함수 $f:\mathbb Q_{>0}\to\mathbb Z_{>0}$을 구하여라. 단, $\mathbb Q_{>0}$은 양의 유리수의 집합이며 $\mathbb Z_{>0}$은 양의 정수의 집합이다.
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