자연수 $n$에 대해 $n$을 10진법으로 쓸 때, 각 자리수의 합을 $S(n)$이라 하자. $n$을 10진법으로 나타낸 후 오른쪽부터 몇 자리수를 (최소한 한 자리 이상) 빈칸없이 잘라내어 얻은 자연수를 $n$의 ‘토막’이라 하자. $T(n)$을 $n$의 모든 토막들의 합이라 할 때, $n=S(n)+9T(n)$임을 증명하여라.

어떤 자연수 $N$에 대하여, 집합 $\{1,\ldots,N\}$의 원소 중 3의 배수의 개수와 5 또는 7 (또는 둘다)의 배수의 개수가 같다 하자. 이러한 $N$ 중 최대의 자연수를 구하여라.

두 개의 합동인 정$n$각형($n\ge 3$) $S$와 $T$가 평면에 놓여 있는데 이 두 정$n$각형의 공통부분이 $2n$각형이라 한다. $S$의 각 변을 빨간색, $T$의 각 변을 파란색으로 칠했다 할때, $2n$각형 $S\cap T$의 변 중 빨간색 변들의 길이의 합이 파란색 변들의 길이의 합과 같음을 증명하여라.

평면 상의 임의의 점을 직각좌표로 나타낼 때, 한 점을 나타내는 두 좌표값 중 한 좌표값은 유리수이고 또 다른 좌표값은 무리수인 점을 ‘섞인점’이라 하자. 실수 계수를 갖는 다항식 중 그들의 그래프 위에 섞인점이 하나도 없는 다항식을 모두 구하여라.

자연수 $n$에 대해 평면 상에 다음 조건을 만족하는 $n+4$개의 점 $A$, $B$, $C$, $D$, $X_1$, $\ldots$, $X_n$이 있다 하자. $AB\neq CD$이고 모든 $i=1,2,\ldots,n$에 대해 삼각형 $ABX_i$와 $CDX_i$가 합동이다. 이러한 자연수 $n$ 중 가장 큰 자연수를 구하여라.