2018 제32회 한국수학올림피아드 고등부 1번문제

예각삼각형 $ABC$의 내심 $I$에서 변 $AC$에 내린 수선의 발을 $E$라 하자. 점 $A$를 지나고 직선 $BI$에 수직인 직선과 직선 $CI$의 교점을 $K$라 하고, 점 $A$를 지나고 직선 $CI$에 수직인 직선과 점 $C$를 지나고 직선 $BI$에 수직인 직선의 교점을 $L$이라 하자. 세 점 $E$, $K$, $L$이 한 직선 위에 있음을 보여라.

2018 제32회 한국수학올림피아드 고등부 5번문제

볼록사각형 $ABCD$에서 각 $A$의 이등분선이 각 $B$의 이등분선, 각 $D$의 이등분선과 만나는 점을 각각 $P$, $Q$라 하고, 각 $C$의 이등분선이 각 $D$의 이등분선, 각 $B$의 이등분선과 만나는 점을 각각 $R$, $S$라 하자. 이때 네 점 $P$, $Q$, $R$, $S$는 모두 다른 점이고, 두 선분 $PR$과 $QS$가 점 $Z$에서 수직으로 만난다. 각 $A$, $B$, $C$, $D$의 외각의 이등분선을 각각 $\ell_A$, $\ell_B$, $\ell_C$, $\ell_D$라 하고, $\ell_A$와 $\ell_B$의 교점을 $E$, $\ell_B$와 $\ell_C$의 교점을 $F$, $\ell_C$와 $\ell_D$의 교점을 $G$, $\ell_D$와 $\ell_A$의 교점을 $H$라 하자. 사각형 $EFGH$의 네 변 $FG$, $GH$, $HE$, $EF$의 중점을 각각 $K$, $L$, $M$, $N$이라 할 때, 사각형 $KLMN$의 넓이는 $\overline{ZM} \cdot \overline{ZK} + \overline{ZL} \cdot \overline{ZN}$임을 보여라.

2018 제32회 한국수학올림피아드 중등부 3번문제

이등변삼각형이 아닌 삼각형 $ABC$의 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하고, 변 $BC$의 수직이등분선이 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 점을 $P$라 하자. 이때 $A$와 $P$는 변 $BC$에 대하여 같은 쪽에 있다. 삼각형 $ABM$과 $AMC$의 내심을 각각 $I$, $J$ 라 하고, $\angle BAC = \alpha$, $\angle ABC = \beta$, $\angle BCA = \gamma$라 할 때, $\angle IPJ$를 구하여라.

2018 제32회 한국수학올림피아드 중등부 5번문제

이등변삼각형이 아닌 예각삼각형 $ABC$의 외심 $O$를 직선 $AB$, $AC$에 대하여 선대칭한 점을 각각 $D$, $E$라 하자. 삼각형 $ADE$의 외접원이 직선 $AB$, 직선 $AC$, 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 점 중 $A$가 아닌 점을 각각 $K$, $L$, $M$이라 하자. 세 직선 $BC$, $KL$, $AM$이 한 점에서 만남을 보여라.

 

2018 이란기하올림피아드 고급 1번문제

두원 $\omega_1$, $\omega_2$가 서로 다른 두 점 $A$, $B$에서 만난다. 두점 $P\in \omega_1$와 $Q\in \omega_2$에 대하여 $PQ$는 이 두 원의 공통접선이다. $X$가 $\omega_1$ 상의 임의의 점일때, 직선 $AX$와 $\omega_2$가 만나는 점을 $Y$($Y\neq A$)라 하자. $\omega_2$ 상의 점 $Y’\neq Y$에 대하여 $QY =QY’$이다. 직선 $Y’B$와 $\omega_1$의교점을 $X′$($X′\neq B$)이라 할때, $PX=PX’$이 성립함을 보여라. 단,$Y’\neq B$이다.