아래 그림과 같이 $9$개의 작은 원판 $A, B, \ldots, I$와 $11$개의 선분으로 이루어진 도형이 있다. 모든 원판에 실수를 하나씩 쓰고, 각 선분에는 선분의 양 끝 원판에 적힌 두 실수의 차의 제곱을 적는다. 원판 $A$에는 $0$, 원판 $I$에는 $1$을 쓰자. 이때 모든 선분에 적힌 수의 합이 될 수 있는 값 중 가장 작은 것을 구하여라.
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2018 국제수학올림피아드 2번문제
다음 조건을 만족하는 실수 $a_1, a_2, \ldots ,a_{n+2}$가 존재하는 정수 $n \geq 3$을 모두 구하여라.
(조건) $a_{n+1}=a_1$, $a_{n+2}=a_2$이고, $i=1,2, \ldots ,n$에 대하여 \[ a_i a_{i+1} +1 = a_{i+2}\]이다.
2018 아시아태평양수학올림피아드 2번문제
두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 아래와 같이 주어져 있다.\begin{align*}f(x)&=\frac1x+\frac1{x-2}+\frac1{x-4}+\cdots+\frac{1}{x-2018}\\g(x)&=\frac1{x-1}+\frac1{x-3}+\frac1{x-5}+\cdots+\frac1{x-2017}\end{align*}이때 $0<x<2018$인 임의의 실수 $x$에 대하여 $x$가 정수가 아니면 \( \lvert f(x)-g(x)\rvert >2\)임을 보여라.
2018 아시아태평양수학올림피아드 5번문제
모든 실수 $s$, $t$에 대하여 $P(s)$와 $P(t)$가 모두 정수라면 $P(st)$도 정수가 되는 정수 계수 다항식 $P(x)$를 모두 구하여라.
2018 미국수학올림피아드 1번문제
세 양의 실수 $a$, $b$, $c$의 합이 $4\sqrt[3]{abc}$과 같을 때 \[2(ab+bc+ca)+4\min(a^2,b^2,c^2)\ge a^2+b^2+c^2\]임을 보여라.
2018 미국수학올림피아드 2번문제
다음 조건을 만족하는 함수 $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$를 모두 구하여라. 양의 실수 $x,y,z$가 $xyz=1$이면 \[ f(x+\frac1y)+f(y+\frac1z)+f(z+\frac1x)=1\]이다.