2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 11번문제

(a) 평면 위에 타원이 있다. 이때 전체 평면에 정의된 리만 계량 중 주어진 타원이 측지선(geodesic)이 되게 하는 것이 존재함을 증명하라. 아울러 그러한 리만 계량은 항상 가우스 곡률(Gaussian curvature) 값이 양수임을 보여라.
(b) 평면 위에 같은 점을 두 번 지나지 않고 시작점과 끝점이 같은 두 매끄러운 곡선(smooth curve)이 있다. 이때 두 곡선이 동시에 어느 한 리만 계량의 측지선이라고 한다면, 평면 위의 어떤 점에서는 가우스 곡률이 0이 됨을 증명하라.

2012 Miklós Schweitzer 수학경시대회 10번문제

3차원 공간에 있는 매듭 $K$가 있다. (즉, $K$는 원에서 $\mathbb{R}^3$로 가는 미분가능한 단사함수이다.) 그리고 $D$를 이 매듭의 다이어그램이라 하자. (즉 $D$는 $K$를 적당한 평면에 projection시킨 것이다.) $D$의 여집합은 검은색으로 칠하고 $D$의 안쪽의 영역들은 체스판처럼 검은색과 흰색으로 칠하되 선을 공유하는 두 영역은 서로 다른 색이 되게 한다. 검은색 영역을 꼭지점으로 하고 두 검은색 영역이 서로 한 점에서 만날때 그 대응되는 두 꼭지점을 선으로 이은 그래프를 $\Gamma_B(D)$라 하자.
a) $\Gamma_B(D)$에 spanning tree가 많아야 3개 뿐인 다이어그램 $D$를 갖는 모든 매듭을 결정하라.
b) 모든 매듭 $K$와 다이어그램 $D$에 대해 $\Gamma_B(D)$의 spanning tree 수는 홀수개임을 보여라.