양의 무리수 $\alpha$에 대하여 수열 $\{q_n\}_{n\ge 1}$을 \[ q_n=\frac{\lceil n\alpha\rceil }{n}\]로 정의하면 수열 $\{q_n\}_{n\ge 1}$은 단조증가수열이 아님을 보여라 (단, $\lceil x\rceil$는 $x$를 넘지 않는 최대 정수).
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2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 3번문제
교대군(alternating group) $A_n$의 실로우 $2$-부분군 중 정확히 하나에만 포함된 순열이 존재한다고 한다. 가능한 모든 $n$을 구하라.
2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 4번문제
원소 $n$개로 구성된 아벨군(abelian group) $A$가 있다. 이때 $GL(n,\mathcal C)$의 부분군 중 $S_{n’}$과 동형인 두 부분군을 적당히 잘 잡으면 그 두 부분군의 교집합이 정확히 $A$의 자기동형사상군(automorphism group)과 동형이 됨을 증명하라.
2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 5번문제
리대수(Lie algebra) $\mathfrak g$의 부분대수 $\mathfrak h$가 다음 조건을 만족하면 $\mathfrak g$에 주어진 스칼라곱 $\langle \, ,\, \rangle>$에 대해 $\gamma$ 성질을 만족한다고 하자.
$X\in \mathfrak h$이면 모든 $Y\in \mathfrak g$에 대해 $\langle [X,Y], Y\rangle =0$이 된다.
이때 주어진 2-step nilpotent 리대수에서 $\gamma$ 성질을 만족하는 부분대수의 차원의 최대값은 스칼라곱의 선택과 무관함을 증명하라.
2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 6번문제
단위원소(unit element)가 있는 $C^*$-대수 $\mathcal A$가 있다. 이 원소 중 양인 원소로 원뿔(cone)을 $\mathcal A_+$라 하자. (즉, $\mathcal A_+$은 $\mathcal A$의 self adjoint한 원소 중 spectrum이 $[0,\infty)$에 있는 것의 집합이다.) 이때 아래 연산을 생각하자. \[ x\circ y=\sqrt{x} y\sqrt{x}, \quad x,y\in \mathcal A_+.\] 이때 모든 $x,y\in \mathcal A_+$에 대해 \[ (x\circ y)\circ y=x\circ (y\circ y),\]가 된다면 $\mathcal A$에는 교환법칙이 성립한다.
2013 제32회 전국 대학생 수학경시대회 5번문제
집합 $S$를 다음과 같이 정의하자. \[ S=\{n\in\mathbb{Z}:2x^2+xy+4y^2=n\text{인 정수 $x,y$가 존재한다}\}.\]
(1) 임의의 $m\in S$에 대하여 $2m\in S$임을 보여라.
(2) 임의의 $m,n\in S$에 대하여 $mn\in S$임을 보여라.
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)