계수가 유리수인 다항식 $f(x,y)$는 임의의 정수 $m$, $n$에 대하여 $f(m,n)$이 정수이다. 이 때, 다항식 $f(x,y)$는 적당한 정수 $c_{ij}$에 대하여 다음과 같이 표현됨을 보여라. \[ f(x,y)=\sum_{i,j\ge 0}c_{ij}\binom{x}{i}\binom{y}{j}\] (단, $\binom{x}{i}=\frac{x(x-1)\cdots (x-i+1)}{i!}$이고 $\binom{x}{0}=1$이다.)

행렬 $\begin{pmatrix} 2&3&3\\0&3&3\\4&4&4\end{pmatrix}$에 대하여 실행렬 $B$가 $AB=BA$를 만족하면 적당한 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 \[ B=aA^2+bA+cI\]가 성립함을 보여라.

양의 정수 $n$($n\ge 3$)에 대하여 $n\times n$ 실행렬 $A=(a_{ij})$가 다음 조건을 만족하면 $A$는 가역행렬임을 보여라.

(i) 모든 $i$, $j$에 대하여 $a_{ij}>0$이다.

(ii) 모든 $I$에 대하여 $2a_{ii}=\sum_{j=1}^n a_{ij}$이다.

모든 성분 $a_{ij}$가 양의 실수인 $n\times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$가 임의의 $1\le j\le n$에 대하여 $\sum_{I=1}^n a_{ij}=1$을 만족한다. 이 때, 방정식 $\det (A-xI)=0$의 근의 절대값은 모두 1 이하임을 보여라.

주어진 $n\times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$가 $1\le i,j\le n$에 대하여 다음을 만족시킨다. \[ a_{ij}=\begin{cases} i^2-1, &\text{$i=j$일 때,}\\ij,&\text{$i\neq j$일 때.}\end{cases}\] 이 행렬 $A$의 모든 고유치(eigenvalue)들과 행렬식을 구하라.

3차원 유클리드 공간 상의 직선 $\ell$과 평면 $P$가 원점에서 만난다고 가정하자. 선형변환 $f$는 $\ell$을 축으로 하는 어떤 회전이고, 또다른 선형변환 $g$는 $P$에 대한 반사(reflection)라 한다. 그러면, 수직하게 만나는 직선 $\ell’$과 평면 $P’$이 있어서 $\ell’$을 축으로 하는 어떤 회전 $f’$과 $P’$에 대한 반사 $g’$에 대하여 $f\circ g=f’\circ g’$을 만족함을 보여라.