모든 실수 $x_1$, $\ldots$, $x_n$에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라. \[ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|} \le \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}\]
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2020 국제수학올림피아드 2번문제
실수 $a$, $b$, $c$, $d$가 부등식 $a\ge b\ge c\ge d>0$와 등식 $a+b+c+d=1$을 만족한다. 다음 부등식이 성립함을 보여라. \[ (a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d<1\]
2019 국제수학올림피아드 1번문제
모든 정수의 집합을 $\mathbb Z$라 하자. 모든 정수 $a$, $b$에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수 $f:\mathbb Z\to \mathbb Z$를 모두 구하여라. \[ f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)).\]
2018 제32회 한국수학올림피아드 고등부 4번문제
실수의 수열 $\{ a_n \}$이 모든 양의 정수 $n$에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족한다고 하자.
(i) $0 < a_n < n^\alpha$
(ii) $a_1 + a_2 + \cdots + a_n < \sqrt{n}$
이때 $n>N$인 모든 $n$에 대하여 $\displaystyle a_1^{2018} + a_2^{2018}+ \cdots + a_n^{2018} < \frac{n}{2018}$이 성립하는 양의 정수 $N$이 반드시 존재하게 되는 양수 $\alpha$를 모두 구하여라.
2018 제32회 한국수학올림피아드 고등부 7번문제
아래 그림과 같이 $9$개의 작은 원판 $A, B, \ldots, I$와 $11$개의 선분으로 이루어진 도형이 있다. 모든 원판에 실수를 하나씩 쓰고, 각 선분에는 선분의 양 끝 원판에 적힌 두 실수의 차의 제곱을 적는다. 원판 $A$에는 $0$, 원판 $I$에는 $1$을 쓰자. 이때 모든 선분에 적힌 수의 합이 될 수 있는 값 중 가장 작은 것을 구하여라.
2018 제32회 한국수학올림피아드 중등부 1번문제
이차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족할 때, $\displaystyle \frac{ f(8)-f(2)}{f(2)-f(1)}$의 값을 구하여라.
서로 다른 두 실수 $a$, $b$에 대하여 $f(a)=f(b)$이면 $f(a^2 – 6b – 1)= f(b^2 + 8)$이다.