2018 제32회 한국수학올림피아드 고등부 4번문제

실수의 수열 $\{ a_n \}$이 모든 양의 정수 $n$에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족한다고 하자.
(i) $0 < a_n < n^\alpha$
(ii) $a_1 + a_2 + \cdots + a_n < \sqrt{n}$

이때 $n>N$인 모든 $n$에 대하여 $\displaystyle a_1^{2018} + a_2^{2018}+ \cdots + a_n^{2018} < \frac{n}{2018}$이 성립하는 양의 정수 $N$이 반드시 존재하게 되는 양수 $\alpha$를 모두 구하여라.

2018 제32회 한국수학올림피아드 고등부 7번문제

아래 그림과 같이 $9$개의 작은 원판 $A, B, \ldots, I$와 $11$개의 선분으로 이루어진 도형이 있다. 모든 원판에 실수를 하나씩 쓰고, 각 선분에는 선분의 양 끝 원판에 적힌 두 실수의 차의 제곱을 적는다. 원판 $A$에는 $0$, 원판 $I$에는 $1$을 쓰자. 이때 모든 선분에 적힌 수의 합이 될 수 있는 값 중 가장 작은 것을 구하여라.