2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 7번문제

좌표평면 위에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 원판 $D$가 있다.

(1) 다음 이중적분의 값을 구하여라.\[\int\int_D \frac1{\sqrt{1-x^2-y^2}}\,dx\,dy.\]

(2) 가로의 길이가 2011이고 세로의 길이가 각각 $a_1,\ldots,a_n$인 $n$개의 직사각형 종이조각이 주어져 있다. 만약 $\sum_{i=1}^n a_i<2$이면, 이 종이들로 원판 $D$를 덮을 수 없음을 보여라. (단, 종이들을 겹치는 것은 허용하되 접거나 찢는 것은 허용하지 않는다.)

2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 8번문제

좌표평면 위에 중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 원판 $D$가 있다.

(1) 다음 이중적분의 값을 구하여라.\[\int\int_D \frac1{\sqrt{1-x^2-y^2}}\,dx\,dy.\]

(2) 가로의 길이가 2011이고 세로의 길이가 각각 $a_1,\ldots,a_n$인 $n$개의 직사각형 종이조각이 주어져 있다. 만약 $\sum_{i=1}^n a_i<2$이면, 이 종이들로 원판 $D$를 덮을 수 없음을 보여라. (단, 종이들을 겹치는 것은 허용하되 접거나 찢는 것은 허용하지 않는다.)

2016 Vojtěch Jarník 국제수학경시대회 1분야 3번문제

어떤 $d\ge 3$에 대해 $A_1\cdots A_{d+1}$이 $\mathbb{R}^d$ 내의 단체(simplex)라 하자. (단체(simplex)란 하나의 초평면 위에 있지 않은 d+1개 점의 볼록포이다.) 모든 $i=1,\ldots,d+1$에 대해 면 $A_1\cdots A_{i-1}A_{i+1}\cdots A_{d+1}$의 외심을 $O_i$라 하자. 즉, $O_i$는 초평면 $A_1\cdots A_{i-1}A_{i+1}\cdots A_{d+1}$ 위에 있으며 점 $A_1$, $\ldots$, $A_{i-1}$, $A_{i+1}$, $\ldots$, $A_{d+1}$ 각각으로부터 같은 거리 떨어져있다. 각 $i$에 대해 $A_i$를 지나고 초평면 $O_1\cdots O_{i-1}O_{i+1}\cdots O_{d+1}$과 수직인 직선을 그리자. 이때 이 직선들이 모두 평행하거나 공통인 점을 지난다는 것을 보여라.

2014 Miklós Schweitzer 수학경시대회 10번문제

주어진 $2$차원 구의 삼각분할(triangulation)의 각 꼭지점에 평면의 볼록인 부분집합을 대응시킨다. 삼각분할의 2차원 면의 세 꼭지점 각각에 대응되는 세 개의 볼록 집합은 항상 공통인 점을 가진다고 한다. 이때, 어떤 대응되는 $4$개의 볼록 집합이 공통의 점을 갖는 4개의 꼭지점이 존재함을 보여라.

2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 10번문제

벡터공간 $\mathbb R^n$의 리만 계량(Riemann metric)이 임의의 두 점에 대해 그 두 점을 있는 유일한 최소 거리의 측지선(geodesic) $g(a,b)$가 있다고 한다. 모든 $a\in \mathbb R^n$에 대해 $a$에 대응되는 리만 거리(Riemannian distance) $\rho_a:\mathbb R^n\to\mathbb R$이 아래로 볼록하고 $a$ 바깥에서 미분가능하다고 하자. 이때 $a,b$와 다른 점 $x$에 대해 \[ \partial_i \rho_a(x)=-\partial_i \rho_b(x), \quad i=1,\ldots,n\]이 성립한다는 것과 $x$가 $g(a,b)$ 위에 있다는 것이 동치임을 보여라.