2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 4번문제

실계수 3차 다항식 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$에 대하여 방정식 $f(x)=0$의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$라 하자. 세 근 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$가 서로 다른 세 실수이기 위한 필요충분조건은 실대칭행렬 \[\begin{pmatrix}3&p_1&p_2\\p_1&p_2&p_3\\p_2&p_3&p_4\end{pmatrix}\]이 양의 정부호(positive definite)임을 보여라. (단, $p_i=\alpha^I+\beta^I+\gamma^I$이다.)