2013 제74회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B4

폐구간 $[0,1]$에서 정의된 연속인 실함수 $f$에 대해 \[ \mu(f)=\int_0^1 f(x)\, dx, \operatorname{Var}(f)=\int_0^1 \left(f(x)-\mu(f)\right)^2\, dx, M(f)=\max_{0\le x\le 1} \lvert f(x)\rvert\]로 정의하자. 이때 폐구간 $[0,1]$에서 정의된 두 연속인 실함수 $f$, $g$에 대해 \[ \operatorname{Var}(fg)\le 2\operatorname{Var}(f) M(g)^2+2\operatorname{Var}(g) M(f)^2\]임을 증명하라.

2013 Miklós Schweitzer 수학경시대회 12번문제

가방 안에 토큰이 $n$개가 있다. 하나 이상의 토큰은 흰색이고 나머지는 검정색이다. 가방에서 토큰을 하나씩 임의로 뽑되 뽑은 것은 다시 넣지 않는다고 하자. $i$번째 토큰을 뽑기 직전 가방에 있는 흰색 토큰의 비율을 $X_i$라 하고 \[T=\max \{ \lvert X_i-X_j\rvert : 1\le i\le j\le n\}\]이라 하자. 이때 $\mathbb E(T)\le H(\mathbb E(X_1))$임을 증명하라. (단, $H(x)=-x\ln x-(1-x)\ln (1-x)$이다.)