2017 제78회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B1

평면 위에 서로 다른 직선 $L_1$, $L_2$가 있다. 이 두 직선 $L_1$ and $L_2$가 만날 필요충분조건은 모든 실수 $\lambda\neq 0$와 $L_1$, $L_2$ 위에 있지 않은 임의의 점 $P$에 대하여,  $\overrightarrow{PA_2} = \lambda \overrightarrow{PA_1}$이 되는 $L_1$ 위의 점 $A_1$, $L_2$ 위의 점 $A_2$가 존재하는 것임을 보여라.

2017 제78회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B4

다음 식의 값을 구하여라.\begin{gather*}\sum_{k=0}^\infty \left( 3 \cdot \frac{\ln(4k+2)}{4k+2} – \frac{\ln(4k+3)}{4k+3} – \frac{\ln(4k+4)}{4k+4} – \frac{\ln(4k+5)}{4k+5} \right) \\= 3 \cdot \frac{\ln 2}{2} – \frac{\ln 3}{3} – \frac{\ln 4}{4} – \frac{\ln 5}{5}+ 3 \cdot \frac{\ln 6}{6} – \frac{\ln 7}{7} \\ – \frac{\ln 8}{8} – \frac{\ln 9}{9}+ 3 \cdot \frac{\ln 10}{10} – \cdots .\end{gather*} (단, $\ln x$는 $x$의 자연로그값을 뜻한다.)

2017 제78회 William Lowell Putnam 수학경시대회 B5

어떤 삼각형 $T$와 같은 평면 위에 있는 직선이 이 삼각형을 두 영역으로 나누었을 때 이 두 영역의 넓이도 같고 둘레도 같다면 이 직선을 삼각형 $T$의 이등분선이라고 부르자. 세 변의 길이가 각각 $a$, $b$, $c$인 삼각형이 정확히 두 개의 이등분선을 가진다고 할 때 가능한 세 양의 정수 $a>b>c$ 중에서 $a$ 값이 가장 작을 때 $a$, $b$, $c$를 구하라.