2020 국제수학올림피아드 1번문제

볼록사각형 $ABCD$의 내부에 한 점 $P$가 있도, 다음 비례식이 성립한다. \[ \angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC\]
이때 다음 세 직선이 한 점에서 만남을 보여라: 각 $\angle ADP$, $\angle PCB$의 내각의 이등분선, 선분 $AB$의 수직이등분선.

2020 국제수학올림피아드 3번문제

서로 무게가 다른 조약돌 $4n$개가 있고 각 조약돌의 무게는 $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $4n$ 중 하나이다. 각 조약돌은 $n$개의 색 중 하나로 색칠되어 있고, 같은 색을 가진 조약돌은 정확히 4개씩 있다. 이 때 다음 두 조건을 모두 만족하도록 조약돌을 두 개의 그룹으로 나눌 수 있음을 보여라.

  • 각 그룹의 조약돌의 무게의 총합은 서로 같다.
  • 각 그룹에는 각각의 색에 대하여 그 색으로 색칠된 조약돌이 정확히 2개 있다.

2020 국제수학올림피아드 4번문제

정수 $n > 1$이 있다. 한 산의 오르막에 $n^2$개의 역이 있고, 역들은 서로 다른 높이에 있다. 두 개의 케이블카 회사 A 와 B는 각각 $k$개의 케이블카를 운행한다. 각각의 케이블카는 낮은 위치에 있는 역에서 출발하여 더 높은 위치에 있는 역까지 운행한다. (중간에 멈추지 않는다.) A 회사 에서 운행하는 $k$개의 케이블카는 $k$개의 서로 다른 역에서 출발하여 서로 다른 $k$개의 역까지 운행하고, 더 높은 곳에서 출발한 케이블카는 더 높은 곳까지 운행한다. B 회사가 운행하는 케이블카도 같은 조건으로 운행한다. 두 역이 어떤 회사에 의해 연결된다는 것은 한 회사에서 운행하는 하나 또는 여러 개의 케이블카를 이용하 여 이 두 역 중 낮은 위치에 있는 역에서 높은 위치에 있는 역까지 이동할 수 있다는 것이다. (역들 사이의 다 른 이동은 허용되지 않는다)
두 회사 모두에 의해 연결되는 두 역이 항상 존재하는 가장 작은 양의 정수 $k$를 구하여라.

2020 국제수학올림피아드 5번문제

$n > 1$장의 카드로 이루어진 카드 묶음이 하나 있다. 각각의 카드에는 양의 정수가 하나 적혀있다. 이 카드 묶음은 다음 성질을 만족한다: 임의의 한 쌍의 카드에 적혀있는 두 수의 산술평균은 이 카드묶 음 내의 한 장 또는 여러 장의 카드에 적혀있는 수들의 기하평균과 같다.
어떤 $n$에 대하여, 카드에 있는 수가 항상 모두 같아야할까?

2020 국제수학올림피아드 6번문제

다음 조건을 만족하는 양의 상수 $c$가 존재함을 보여라.
정수 $n > 1$에 대하여, 임의의 두 점 사이의 거리가 $1$ 이상인 $n$개의 평면 위의 점으로 이루어진 집합
$S$를 생각하자. 어떤 직선 $\ell$이 존재하여, $S$를 두 집합으로 나누고 $S$의 각 점으로부터 $\ell$까지의 거리가 $cn^{−1/3}$ 이상이다.
(직선 $\ell$이 점의 집합 $S$를 나눈다는 것은 $S$에 속하는 어떤 두 점을 연결하는 선분이 $\ell$과 만난다는 것이다.)
Note. $cn^{−1/3}$인 경우 대신 이보다 약한 결과인 $cn^{−\alpha}$인 경우에 대해 보인 경우, 상수 $\alpha > 1/3$의 값에 따라 부분점수가 주어질 수 있다.