2016년 9월 16일 금요일. 3시간.
출처: http://www.wiskundeolympiade.nl/wedstrijdarchief/finale
loading...
(a) 긴 아스팔트 도로 위에 분필로 999개의 정수의 수열이 적혀있다. 이 수들은 서로 다를 필요도 없으며 증가수열일 수도 없다. 먼저 A가 빨강색 분필로 500개의 정수에 동그라미를 그렸다. 왼쪽부터 오른쪽으로 가면서 빨강색 동그라미가 그려진 정수만 읽으면 정확히 $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $499$, $500$이었다. 다음엔 B가 파랑색 분필로 500개의 정수에 동그라미를 그렸는데 왼쪽부터 오른쪽으로 가면서 파랑색 동그라미가 그려진 정수만 읽으면 정확히 $500$, $499$, $498$, $\ldots$, $2$, $1$이 되었다. 이떄 이 수열의 제일 가운데에 있는 수는 빨강색 동그라미와 파랑색 동그라미 모두 그려져 있음을 보여라.
(b) $A$와 $B$가 길을 건넜더니 999개의 정수의 다른 수열이 적혀있었다. 다시 A가 500개의 정수에 빨강색 분필로 동그라미를 그렸다. 역시나 왼쪽부터 오른쪽으로 가면서 빨강색 동그라미가 그려진 정수만 읽으면 정확히 $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $499$, $500$이었다. 다시 한번 B가 500개 정수에 녹색 분필로 동그라미를 그렸더니, 또 왼쪽부터 오른쪽으로 가면서 녹색 동그라미가 그려진 정수만 읽으면 정확히 $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $499$, $500$이었다. 이때 999개 수의 정확히 가운데 수가 아니면서도 빨강색 동그라미와 녹색 동그라미가 동시에 그려진 수가 존재함을 보여라.
양의 정수 $n$에 대해, $0$, $-1$, $1$로 구성된 $2n$개의 수의 나열을 생각하자. 그러한 수열의 “합곱값”이란 그 수열에서 얻을 수 있는 두 값들을 곱하여 얻은 수들을 모두 더한 것이다. 예를 들어 $n=2$이고 수열이 0, 1, 1, -1일 때, $0\cdot 1$, $0\cdot 1$, $0\cdot -1$, $1\cdot 1$, $1\cdot -1$, $1\cdot -1$을 모두 더한 것으로 그 수열의 합곱값은 바로 $0+0+0+1+(-1)+(-1)=-1$이 된다. 이 때 그 합곱값은 수열 0, 0, 0, 0의 합곱값인 0보다 작다.
각 양의 정수 $n$에 대해, 그러한 길이 $2n$의 수열이 가질 수 있는 합곱값의 최솟값을 구하라.
(주의: 더 작은 합곱값은 불가능하다는 것도 보여야 한다.)
다음 조건들을 동시에 만족시키는 양의 정수의 순서쌍 $(a,b,c)$를 모두 구하라.
(1) $\gcd(a,b)=\gcd(a,c)=\gcd(b,c)=1$
(2) $a$는 $a+b+c$의 약수
(3) $b$는 $a+b+C$의 약수
(4) $c$는 $a+b+C$의 약수
(단, $gcd(x,y)$는 $x$, $y$의 최대공약수)
(Class 6용)
예각삼각형 $ABC$의 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하자. 각 $AMB$의 이등분선 위에 $\angle BXM=90^\circ$이 되게 점 $X$가 있다. 각 $AMC$의 이등분선 위에 $\angle CYM=90^\circ$이 되게 점 $Y$가 있다. 두 선분 $AM$과 $XY$가 점 $Z$에서 만난다. 이때 $Z$는 선분 $XY$의 중점임을 보여라.
(Class 4-5용)
사각형 $ABCD$의 두 대각선의 교점을 $P$라 하자. 삼각형 $PAB$의 수심을 $X$, 삼각형 $PCD$의 수심을 $Y$라 한다. 만일 점 $X$가 삼각형 $PAB$의 내부에 있고 점 $Y$가 삼각형 $PCD$의 내부에 있으며 점 $P$가 정확히 선분 $XY$의 중점일 때, 사각형 $ABCD$는 평행사변형임을 보여라.
양의 정수 각각에 아래 규칙을 만족하도록 색칠을 한다.
(1) 각 홀수는 파랑색으로 칠한다.
(2) 양의 정수 $n$에 대해 $n$과 $4n$의 색은 같다.
(3) 양의 정수 $n$에 대해, $n$의 색은 $n+2$나 $n+4$의 색과 같다.
이때 모든 정수는 파랑색일 수밖에 없음을 보여라.